Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在拋物線上有一點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)為-2，直線l過點(diǎn)A并繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)滿足-2＜x_B＜，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求出此時(shí)直線l的關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等？若存在，求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)和對稱軸代入即可；
（2）將切線和拋物線的方程聯(lián)立即可求解；
（3）聯(lián)立拋物線和直線y=-x+，解得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
解答：解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=1，且過點(diǎn)A（-1，0），
代入得：-=1，1-b+c=0，
解得：b=-2，c=-3，
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=x²-2x-3；

（2）∵點(diǎn)在拋物線上，
∴A（-2，5）．
由于AO是定長，要是△AOB的面積最大，則要以AO為底的高最大，即點(diǎn)B到AO的距離最大，
∵-2＜xB＜，
則點(diǎn)B在A點(diǎn)和對稱軸之間的拋物線上，將直線AO平移到與拋物線相切于點(diǎn)B時(shí)，△AOB的面積最大．
∵直線AO：y=-x，
∴可以設(shè)切線：y=-x+b，
將切線和拋物線的方程聯(lián)立，得x²+x-3-b=0．①
又∵是切線，
∴只有一個(gè)交點(diǎn)，即△=0，可得b=-，
代入①，解得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-，所∴點(diǎn)B（-，-），
又∵A（-2，5），
∴l(xiāng)：y=-x-．

（3）要使△AOC的面積與△AOB的最大面積相等，則點(diǎn)C到直線OA的距離等于點(diǎn)B（-，-）到OA的距離
∵過點(diǎn)B的切線：y=-x-，
∴要使點(diǎn)C到直線OA的距離等于點(diǎn)B到OA的距離，那么點(diǎn)C一定是直線y=-x+與拋物線的交點(diǎn)
聯(lián)立拋物線和直線y=-x+，
解得：x=或x=，
則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為或．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直角三角形斜邊上中線等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題難度較大．用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．