Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．

(1)判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；

(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)連接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可； 　　(2)BD＝x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出(x)2＋(2x)2＝16，求出x，求出BD，根據tan∠ABD＝tanC求出AD＝BD，代入求出即可． 　　解答：解：(1)DE與⊙O相切， 　　理由如下：連接OD，BD， 　　∵AB是直徑， 　　∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 　　∵E是BC的中點， 　　∴DE＝BE＝CE， 　　∴∠EDB＝∠EBD， 　　∵OD＝OB， 　　∴∠OBD＝∠ODB． 　　∴∠EDO＝∠EBO＝90°，(用三角形全等也可得到) 　　∴DE與⊙O相切． 　　(2)∵tanC＝，可設BD＝x，CD＝2x， 　　∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2 　　∴(x)2＋(2x)2＝16， 　　解得：x＝±(負值舍去) 　　∴BD＝x＝， 　　∵∠ABD＝∠C， 　　∴tan∠ABD＝tanC 　　AD＝BD＝×＝． 　　答：AD的長是． 　　點評：本題綜合考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上中線性質，切線的判定等知識點，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，注意：①證切線的方法，②方程思想的運用．

提示：

考點：切線的判定；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形．