Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)t＝或12時(shí)，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠C＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，得到DF＝AE，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；

（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計(jì)算即可．

（1）∵∠B＝90°，∠A＝60°，

∴∠C＝30°，

∴AB＝AC＝30，

由題意得，CD＝4t，AE＝2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴DF＝AE，

∵DF∥AE，DF＝AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，如圖①，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C＝30°，

∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，

解得，t＝，

當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，如圖②，

∵AD∥EF，

∴DE⊥AC，

∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），

解得，t＝12，

綜上所述，當(dāng)t＝或12時(shí)，△DEF為直角三角形．