Question

【題目】如果，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD∥OC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若∠D=30°，OC=2．

①求∠ABC的度數(shù)；

②求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①60°；②．

【解析】

（1）先利用同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系證明∠BOC=90°，再由平行線的性質(zhì)得出OBD=90°，按照切線的判定定理可得答案；

（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)C作CH⊥AB于H．①平行線的性質(zhì)可得∠ACE=∠D=30°，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠EAC=90°，從而可得∠E=60°，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得答案；②由半徑的長(zhǎng)求得直徑的長(zhǎng)，利用30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，可得AE的長(zhǎng)，由勾股定理求得AC的長(zhǎng)，利用含45°角的直角三角形和含60°角的直角三角形，可分別求得AH和BH的長(zhǎng)，兩者相加即可得出AB的長(zhǎng)．

（1）證明：∵∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°，

∵BD∥OC，

∴∠BOC+∠OBD=180°，

∴∠OBD=90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)C作CH⊥AB于H．

①∵BD∥OC，∠D=30°，

∴∠ACE=∠D=30°，

∵CE為直徑，

∴∠EAC=90°，

∴∠E=60°，

∴∠ABC=∠E=60°；

②∵OC=2，

∴CE=4，

∵∠EAC=90°，∠ACE=30°，

∴AECE=2，

∴AC2．

∵∠BAC=45°，

∴AH=CHAC2．

∵∠ABC=60°，

∴BHCH，

∴AB=AH+BH．