Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥OA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)PQ運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是等腰梯形，請(qǐng)寫出推理過程；
（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，求梯形OFBC的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF是等腰三角形？請(qǐng)寫出推理過程．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．過B作BG⊥OA于G，過Q作QH⊥OA于H．可根據(jù)勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，讓QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據(jù)平行線段成比例，可以得出AF，進(jìn)而求出OF的值，這樣就可以求出梯形的面積；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值．

解答：解：（1）如圖，過B作BG⊥OA于G，
則AB=

BG2+GA2

=

122+(15-10)2

=

169

=13．
過Q作QH⊥OA于H，
則QP=

QH2+PH2

=

122+(10-t-2t)2

=

144+(10-3t)2

．
要使四邊形PABQ是等腰梯形，則AB=QP，
即

144+(10-3t)2

=13．
∴t=

5

3

，或t=5（此時(shí)PABQ是平行四邊形，不合題意，舍去）；
∴t=

5

3

．

（2）當(dāng)t=2時(shí)，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴

QB

AF

=

QE

EF

=

QD

DP

=

QB

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=

1

2

（10+19）×12=174．

（3）①當(dāng)QP=PF時(shí)，則

122+(10-t-2t)2

=15+2t-2t，
∴t=

1

3

或t=

19

3

．
②當(dāng)QP=QF時(shí)，則

122+(10-t-2t)2

=

122+FH2

=

122+[15+2t-(10-t)]2

，
即

122+(10-3t)2

=

122+(5+3t)2

，
∴t=

5

6

．
③當(dāng)QF=PF時(shí)，則

122+(5+3t)2

=15，
∴t=

4

3

或t=-

14

3

，
綜上，當(dāng)t=

1

3

，t=

19

3

，t=

5

6

，t=

4

3

時(shí)，△PQF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：①本題綜合考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識(shí)點(diǎn)；
②由于知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度；
③要注意的是（3）中要分三種情況進(jìn)行討論，不可丟掉任何一種．