Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)G為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的周長最小時(shí)，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線AE與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為P，M為直線AE上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥PD交拋物線于點(diǎn)N，以P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，建立二元一次方程組，求出b、c的值即可；
（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出A、C的坐標(biāo)及對稱軸，畫出函數(shù)圖象，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，在x軸上取點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則GF=HI．由待定系數(shù)法求出AE的解析式，求出F的坐標(biāo)，就可以求出CF的值，由勾股定理可以求出EI的值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求出求出EI的解析式就可以求出G、H的坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出最小值；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和AE的解析式就可以求出D的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可以求出D的坐標(biāo)，求出PD的值，可以設(shè)出M的坐標(biāo)（x，x+1）分情況討論當(dāng)M在線段AE上和在線段AE或EA的延長線上時(shí)，分別表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)從而求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=-x²+bx+c經(jīng)過（3，0）和（2，3），
∴

-9+3b+c=0 -2+2b+c=0

，
解得：

b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴對稱軸為x=1．
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C（0，3）
∴CE=2．OC=3
如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，在x軸上取點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則GF=HI．
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴點(diǎn)C點(diǎn)E關(guān)于對稱軸x=1對稱，
∴CG=EG．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，由題意，得

-k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直線AE的解析式為y=x+1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴F（0，1），
∴OF=1，CF=2．
∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，
∴I（0，-1），
∴OI=1，CI=4．
在Rt△CIE中，由勾股定理，得
EI=

4+16

=2

5

．
∵要使四邊形CFHG的周長最小，而CF是定值，
∴只要使CG+GH+HF最小即可．
∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，
∴只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小．
設(shè)EI的解析式為y=k₁x+b₁，由題意，得

2k1+b1=3 b1=-1

，
解得：

k1=2 b1=-1

，
∴直線EI的解析式為：y=2x-1，
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∴G（1，1）．
∵當(dāng)y=0時(shí)，x

1

2

，
∴H（

1

2

，0），
∴四邊形CFHG的周長最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2

5

；

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）
∴直線AE的解析式為y=x+1．
∴x=1時(shí)，y=2，
∴P（1，2），
∴PD=2．
∵四邊形DPMN是平行四邊形，
∴PD=MN=2．
∵點(diǎn)M在AE上，設(shè)M（x，x+1），
①當(dāng)點(diǎn)M在線段AE上時(shí)，點(diǎn)N點(diǎn)M的上方，則N（x，x+3），
∵N點(diǎn)在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得：x=0或x=1（舍去）
∴M（0，1）．
②當(dāng)點(diǎn)M在線段AE或EA的延長線上時(shí)，點(diǎn)N在M的下方，則N（x，x-1）．
∵N點(diǎn)在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
∴M（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．
∴M的坐標(biāo)為：M（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，四邊形周長的最值的運(yùn)用，軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．