作業(yè)寶如圖,已知經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的⊙P與x軸交于點(diǎn)A(8,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C是第一象限內(nèi)⊙P上一點(diǎn),CB=CO,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C.
(1)求⊙P的半徑;
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D構(gòu)成矩形?若存在,直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.

解:(1)連接AB,
∵∠AOB=90°,∴AB是⊙P的直徑,
∵點(diǎn)A(8,0),B(0,6),
∴AO=8,BO=6,
∴AB===10,
∴⊙P的半徑是5;

(2)作CH⊥OB,垂直為H,
∵CB=CO,∴H是OB的中點(diǎn),
∴CH過(guò)圓心P,
PH===4,
∴C的坐標(biāo)是(9,3),
把A、C坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得:
,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=x2-x;

(3)設(shè)直線AC的解析為y=kx+c,
∵A(8,0),C(9,3),
,
解得:,
∴直線AC的解析為y=3x-24,
∵點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D構(gòu)成矩形,
∴BD∥AC,
∴設(shè)BD解析式為y=3x+d,∵直線BD過(guò)B點(diǎn),
∴d=6,
∴BD解析式為:y=3x+6,
將y=3x+6與y=x2-x聯(lián)立得:
3x+6=x2-x,
解得;x1=-1,x2=18(不合題意),
x=1時(shí),y=3,
∴D(-1,3).
分析:(1)根據(jù)圓周角定理得出AB是⊙P的直徑,進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng),即可得出半徑;
(2)首先得出C點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而將A,C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可;
(3)利用數(shù)形結(jié)合以及矩形的性質(zhì)得出直線BD的解析式,進(jìn)而聯(lián)立兩函數(shù)得出D點(diǎn)坐標(biāo)即可.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理和待定系數(shù)法求拋物線解析式以及矩形的性質(zhì)等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合得出D點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
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如圖,已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-2x2+4x與x軸的另一交點(diǎn)為A,現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo),并判斷△PCA存在時(shí)它的形狀(不要求說(shuō)理);
(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段?若存在,請(qǐng)一一找出,并寫(xiě)出它精英家教網(wǎng)們的長(zhǎng)度(可用含m的式子表示);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式.

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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo),并判斷△PCA存在時(shí)它的形狀(不要求說(shuō)理);
(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段?若存在,請(qǐng)一一找出,并寫(xiě)出它們的長(zhǎng)度(可用含m的式子表示);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式.

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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo),并判斷△PCA存在時(shí)它的形狀(不要求說(shuō)理);
(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段?若存在,請(qǐng)一一找出,并寫(xiě)出它們的長(zhǎng)度(可用含m的式子表示);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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