Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，求△BCD的面積；
（3）若在拋物線的對稱軸上有一個動點P，當(dāng)△OCP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道三點在二次函數(shù)圖象上，聯(lián)立方程組解得a、b、c；
（2）首先求出拋物線頂點坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，求出k、b，由三角形BCD的面積=三角形BFD的面積+三角形BFC的面積，求得三角形BCD的面積；
（3）分四種情況：設(shè)對稱軸與x軸交于點E．
①當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為銳角時，求出P點坐標(biāo)，
②當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為鈍角時，求出P點坐標(biāo)，
③當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為銳角時，求出P點坐標(biāo)，
④當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為鈍角時，求出P點坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意，c=5．
∴
解得
∴拋物線解析式為；（2分）

（2）
∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為（3分）
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則
∴
∴直線CD的解析式為．
設(shè)直線CD與x軸交于點F，則F點坐標(biāo)為．
∴．
∴．（4分）

（3）分四種情況：設(shè)對稱軸與x軸交于點E．
①當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為銳角時，如圖1，

則有，
∴P點坐標(biāo)為（4，3）（5分）
②當(dāng)OP=OC=5，且∠COP為鈍角時，如圖2，

則有，
∴P點坐標(biāo)為（4，-3）．（6分）
③當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為銳角時，如圖3，

作PQ⊥y軸，垂足為Q，
則有，
∴OQ=OC-CQ=5-3=2．
∴P點坐標(biāo)為（4，2）（7分）
④當(dāng)OC=CP=5，且∠OCP為鈍角時，如圖4，

作PQ⊥y軸，垂足為Q，
則有，
∴OQ=OC+CQ=5+3=8．
∴P點坐標(biāo)為（4，8）（8分）
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（4，3）、（4，-3）、（4，2）或（4，8）．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，知道圖象上三點，就能求出拋物線解析式，會分類討論是解答本題關(guān)鍵所在．