Question

已知雙曲線與直線相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，﹣n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．

（1）若點D坐標是（﹣8，0），求A、B兩點坐標及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

（1）16 （2）

試題分析：（1）根據(jù)B點的橫坐標為﹣8，代入中，得y=﹣2，得出B點的坐標，即可得出A點的坐標，再根據(jù)k=xy求出即可；
（2）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，即可得出k的值，進而得出B，C點的坐標，再求出解析式即可．
解：（1）∵D（﹣8，0），
∴B點的橫坐標為﹣8，代入中，得y=﹣2．
∴B點坐標為（﹣8，﹣2）．
∵A、B兩點關于原點對稱，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；
（2）∵N（0，﹣n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，

∴mn=k，B（﹣2m，﹣），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO﹣S_△DBO﹣S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（﹣2m，﹣）在雙曲線與直線上
∴得（舍去）
∴C（﹣4，﹣2），M（2，2）．
設直線CM的解析式是y=ax+b，把C（﹣4，﹣2）和M（2，2）代入得：

解得．
∴直線CM的解析式是．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的性質，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關鍵．