Question

如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，直線y＝x＋b(b＞0)與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x＋b的對(duì)稱點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)當(dāng)點(diǎn)O′落在⊙O上時(shí)，求b的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)軸對(duì)稱得出直線y＝x＋b是線段的垂直平分線，推出AO＝，BO＝，求出AO＝＝BO＝，即可推出答案； 　　(2)設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根據(jù)勾股定理求出即可． 　　解答：(1)證明：∵點(diǎn)O關(guān)于直線y＝x＋b的對(duì)稱， 　　∴直線y＝x＋b是線段OO′D的垂直平分線， 　　∴AO＝，BO＝， 　　又∵OA，OB是⊙O的半徑， 　　∴OA＝OB， 　　∴AO＝＝BO＝， 　　∴四邊形是菱形． 　　(2)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)落在圓上時(shí)，OM＝＝1， 　　∵設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)， 　　∴△ONP為等腰直角三角形， 　　∴∠ONP＝45°， 　　∵四邊形是菱形， 　　∴OM⊥PN， 　　∵∠ONP＝45°＝∠OPN， 　　∴OM＝PM＝MN＝1， 　　在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝， 　　即b＝． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：圖形和已知條件的結(jié)合，題目比較典型，難度也適中，是一道比較好的題目．

提示：

一次函數(shù)綜合題；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定．