Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA上以每秒

3

cm的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上由點(diǎn)N向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP． 一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=4

3

cm．
①求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
②設(shè)△APQ的面積為s（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．（不必寫(xiě)出t的取值范圍）
（3）探求BP²、PQ²、CQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（2）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和中垂線(xiàn)的性質(zhì)BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的運(yùn)動(dòng)速度；
②先由條件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面積公式就可以求出其解析式；
（3）延長(zhǎng)QM到D，使MD=MQ，連接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四邊形BDCQ為平行四邊形，再由勾股定理和中垂線(xiàn)的性質(zhì)就可以得出PQ²=CQ²+BP²．

解答：解：（1）△PBM∽△QNM．理由：
∵M(jìn)Q⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8

3

cm．AC=12cm，
∵M(jìn)N垂直平分BC，
∴BM=CM=4

3

cm．
∵∠C=30°，
∴MN=

3

3

CM=4cm．
①設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s．
∵△PBM∽△QNM．
∴

NQ

BP

=

MN

MB

，
∴

vt

3 t

=

4

4 3

，
∴v=1，
答：Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴AP=4

3

-

3

t，AQ=4+t，
∴S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（4

3

-

3

t）（4+t）=-

3

2

t2+8

3

．（0＜t≤4）
當(dāng)t＞4時(shí)，AP=-

3

t+4

3

=（4-t）

3

．
則△APQ的面積為：S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（-

3

t+4

3

）（4+t）=

3

2

t²-8

3

．

（3）PQ²=CQ²+BP²．
理由：延長(zhǎng)QM到D，使MD=MQ，連接PD、BD、BQ、CD，
∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
∴四邊形BDCQ是平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD²=BP²+BD²，
∴PD²=BP²+CQ²．
∵M(jìn)Q⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道運(yùn)用相似的相關(guān)知識(shí)解答的綜合試題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線(xiàn)的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出△PBM∽△QNM是關(guān)鍵．正確作出輔助線(xiàn)是難點(diǎn)．