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2.邊長為1的正方形ABCD中,E為邊AD的中點,連接線段CE交BD于點F,點M為線段CE延長線上一點,且∠MAF為直角,則DM的長為$\frac{\sqrt{13}}{4}$.

分析 作MN⊥AD,先證明MA=ME,進而求出AN=NE=$\frac{1}{4}$,利用MN∥CD得$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$,求出MN,在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM.

解答 解:作MN⊥AD垂足為N.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABF=∠CBF,BC∥AD,∠BAD=∠CDA=90°,
∵BF=BF,
在△BFA與△BFC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$,
∴△BFA≌△BFC,
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM,
∵∠MAF=∠BAD=90°,
∴∠BAF=∠MAE,
∴∠MAE=∠AEM,
∴MA=ME,
∵AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$,
∴AN=NE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{4}$,
∵∠MNE=∠CDE=90°,
∴MN∥CD,
∴$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$=$\frac{1}{2}$,
∵CD=1,
∴MN=$\frac{1}{2}$,
在RT△MND中,∵MN=$\frac{1}{2}$,DN=$\frac{3}{4}$,
∴DM=$\sqrt{D{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{4})^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$,
故答案為$\frac{\sqrt{13}}{4}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{13}}{4}$.

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質,正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、平行成比例的性質、勾股定理等知識,靈活運用這些知識是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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5.給出下列命題:
①要了解一批燈泡的使用壽命,應采用普查的方式; 
②我們知道若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根是x=1,則a+b+c=0,那么如果9a+c=3b,則方程ax2+bx+c=0有一根為x=-3; 
③對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形;
④點(x1,y1)和點(x2,y2)在反比例函數y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上,若x1<x2,則y1<y2
其中真命題有(  )
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(1)求點B的坐標,并寫出經過A,B兩點且對稱軸是y軸的拋物線的解析式;
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(4)若點T為平面直角坐標系內一點,且△TOA,△TOB,△TAB均為等腰三角形,請直接寫出所有滿足條件的T點的坐標.

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