Question

如圖，拋物線y=x²-bx-5與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點C與點F關于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線解析式求出OC的長度，再根據比例求出OA的長度，從而得到點A的坐標，然后把點A的坐標代入拋物線解析式計算求出b，即可得到拋物線解析式；
（2）根據點C、F關于對稱軸對稱可得點F的縱坐標與點C的縱坐標相等，設出點F的坐標為（x，-5），代入拋物線求出點F的橫坐標，然后利用待定系數法求直線函數解析式求解即可；
（3）分①點P與點E重合時，△CFP是直角三角形，②CF是斜邊時，過C作CP⊥AF于點P，然后根據點C、E、F的坐標求出PC=PF，從而求出點P在拋物線對稱軸上，再根據拋物線的對稱軸求解即可．
解答：解：（1）∵y=x²-bx-5，
∴|OC|=5，
∵|OC|：|OA|=5：1，
∴|OA|=1，
即A（-1，0），…（2分）
把A（-1，0）代入y=x²-bx-5得
（-1）²+b-5=0，
解得b=4，
拋物線的解析式為y=x²-4x-5；…（4分）

（2）∵點C與點F關于對稱軸對稱，C（0，-5），設F（x，-5），
∴x²-4x-5=-5，
解得x=0（舍去），或x=4，
∴F（4，-5），…（6分）
∴對稱軸為x=2，
設直線AF的解析式為y=kx+b，
把F（4，-5），A（-1，0），代入y=kx+b，
得，
解得，
所以，直線FA的解析式為y=-x-1；…（8分）

（3）存在．…（9分）
理由如下：①當∠FCP=90°時，點P與點E重合，
∵點E是直線y=-x-1與y軸的交點，
∴E（0，-1），
∴P（0，-1），…（10分）
②當CF是斜邊時，過點C作CP⊥AF于點P（x₁，-x₁-1），
∵∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F（4，-5），
∴CE=CF，
∴EP=PF，
∴CP=PF，
∴點P在拋物線的對稱軸上，…（11分）
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=-x-1，得
y=-3，
∴P（2，-3），
綜上所述，直線AF上存在點P（0，-1）或（2，-3）使△CFP是直角三角形．…（12分）
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數與坐標軸的交點的求解，待定系數法求函數解析式，二次函數的對稱性，以及到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上的性質，（3）中要注意分CF是直角邊與斜邊兩種情況討論求解．