Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧AB上一點，設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當(dāng)α=35°時，求β的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）連接OB，則OA=OB；
∵∠OAB=35°，
∴∠OBA=∠OAB=35°，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
∴β=∠C=∠AOB=55°．

（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；
證明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=∠AOB，
∴β=（180°-2α）=90°-α，
∴α+β=90°．
分析：（1）連接OB，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可知：OA=OB；則在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；則再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AOB的度數(shù)；最后根據(jù)圓周角定理可以求得β的度數(shù)；
（2）由（1）可猜想α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；同（1）一樣∠OBA=∠OAB=α，則∠AOB=180°-2α，β=∠C=∠AOB，所以可求β=（180°-2α）=90°-α，則α+β=90度．
點評：本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)以及圓周角定理．要熟練掌握這些性質(zhì)定理才能靈活運用．