Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，A(2，2)，B(4，0)．將△OAB繞點O順時針旋轉a 角(0°＜a ＜90°)得到△OCD(O，A，B的對應點分別為O，C，D)，將△OAB沿x軸負方向平移m個單位得到△EFG(m＞0，O，A，B的對應點分別為E，F，G)，a ，m的值恰使點C，D，F落在同一反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上．

(1)∠AOB＝________°，a ＝________°；

(2)求經(jīng)過點A，B，F的拋物線的解析式；

(3)若(2)中拋物線的頂點為M，拋物線與直線EF的另一個交點為H，拋物線上的點P滿足以P，M，F，A為頂點的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等(點P不與點H重合)，請直接寫出滿足條件的點P的個數(shù)，并求位于直線EF上方的點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∠AOB＝30°，a ＝60°．　2分 　　(2)∵A，B，△OAB繞點O順時針旋轉a 角得到△OCD，(如圖) 　　∴OA＝OB＝OC＝OD＝4． 　　由(1)得 ． 　　∴點C與點A關于x軸對稱，點C的坐標為． 　　∵點C，D，F落在同一反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上， 　　∴． 　　∵點F是由點A沿軸負方向平移m個單位得到， 　　∴，，點F的坐標為．　3分 　　∴點F與點A關于y軸對稱，可設經(jīng)過點A，B，F的拋物線的解析式為． 　　∴ 　　解得 　　∴所求拋物線的解析式為．　4分 　　(3)滿足條件的點P的個數(shù)為5．　5分 　　拋物線的頂點為． 　　∵△EFG是由△OAB沿軸負方向平移m個單位得到， 　　∴，，∠FEG＝∠AOB＝30°． 　　∴點E的坐標為． 　　可得直線EF的解析式為． 　　∵點H的橫坐標是方程的解， 　　整理，得． 　　解得． 　　∴點H的坐標為． 　　由拋物線的對稱性知符合題意的點的坐標為．　6分 　　可知△AFM是等邊三角形，∠MAF＝60°． 　　由A，M兩點的坐標分別為A，， 　　可得直線AM的解析式為． 　　過點H作直線AM的平行線l，設其解析式為(b≠8)． 　　將點H的坐標代入上式，得． 　　解得，直線l的解析式為． 　　∵直線l與拋物線的交點的橫坐標是方程的解． 　　整理，得．解得． 　　∴點滿足，四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等．(如圖)　7分 　　點關于y軸的對稱點也符合題意，其坐標為．　8分 　　綜上所述，位于直線EF上方的點P的坐標分別為， 　　，．