Question

【題目】定義：若拋物線L2：y=mx2+nx（m≠0）與拋物線L1：y=ax2+bx（a≠0）的開(kāi)口大小相同，方向相反，且拋物線L2經(jīng)過(guò)L1的頂點(diǎn)，我們稱拋物線L2為L1的“友好拋物線”．

（1）若L1的表達(dá)式為y=x2﹣2x，求L1的“友好拋物線”的表達(dá)式；

（2）已知拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2+bx的“友好拋物線”．求證：拋物線L1也是L2的“友好拋物線”；

（3）平面上有點(diǎn)P（1，0），Q（3，0），拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2的“友好拋物線”，且拋物線L2的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線L2與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；（2）答案見(jiàn)解析；（3）0＜a＜或a＞8．

【解析】試題（1）設(shè)L1的“友好拋物線”的表達(dá)式為：y=﹣x2+bx，根據(jù)L1：y=x2﹣2x可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=﹣x2+bx可得b的值，進(jìn)而得出L1的“友好拋物線”；

（2）先求出拋物線L1和L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)L2過(guò)L1 的頂點(diǎn)，得出bn=0，進(jìn)而得到拋物線L1經(jīng)過(guò)L2的頂點(diǎn)，再根據(jù)L2與L1的開(kāi)口大小相同，方向相反，即可得出拋物線L1也是L2的“友好拋物線”；

（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到m=﹣a，進(jìn)而得到L2的頂點(diǎn)為（，）．根據(jù)拋物線L2的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得a=n2＞0．再根據(jù)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0），得到a=8．根據(jù)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，0），得到a=．進(jìn)而得出拋物線L2與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍．

試題解析：解：（1）依題意，可設(shè)L1的“友好拋物線”的表達(dá)式為：y=﹣x2+bx，∵L1：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴L1的頂點(diǎn)為（1，﹣1），∵y=﹣x2+bx過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），∴﹣1=﹣12+b，即b=0，∴L1的“友好拋物線”為：y=﹣x2．

（2）L2：y=mx2+nx的頂點(diǎn)為（，），L1：y=ax2+bx的頂點(diǎn)為（，），∵L2為L1 的“友好拋物線”，∴m=﹣a．

∵L2過(guò)L1 的頂點(diǎn)，∴=m×（）2+n×（）．

化簡(jiǎn)得：bn=0．

把x=代入y=ax2+bx，得

y═a×（）2+b×（）==，∴拋物線L1經(jīng)過(guò)L2的頂點(diǎn)．

又∵L2與L1的開(kāi)口大小相同，方向相反，∴拋物線L1也是L2的“友好拋物線”．

（3）∵拋物線L2：y=mx2+nx為L1：y=ax2的“友好拋物線”，∴m=﹣a，∴L2：y=﹣ax2+nx的頂點(diǎn)為（，）．

∵拋物線L2的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，∴=2，即a=n2＞0．

當(dāng)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）時(shí)，﹣a+n=0，∴a=8．

當(dāng)L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，0）時(shí)，﹣9a+3n=0，∴a=，∴拋物線L2與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，0＜a＜或a＞8．