如圖,在平面直角坐標系中放置一直角三角板,其頂點為A(0,1),B(2,0),O(0,0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′O.
(1)一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B,求該拋物線的解析式;
(2)設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,是否存在點P,使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍?若存在,請求出P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)在(2)的條件下,試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形?并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì).
解:(1) ∵△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)900得到的,
且A(0,1),B(2,0),O(0,0)
∴。
設拋物線的解析式為,
∵拋物線經(jīng)過點A′、B′、B,
∴,解之得
。
∴滿足條件的拋物線的解析式為。
(2)∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,
設,則
,P點坐標滿足
。
連接PB,PO,PB′。
∴
。
假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍,
則,即
,解之得
,此時
。
∴P(1,2)。
∴存在點P(1,2),使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍。
(3)四邊形PB′A′B為等腰梯形。它的性質(zhì)有:
①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;
②等腰梯形對角線相等;
③等腰梯形上底與下底平行;
④等腰梯形兩腰相等。
答案不唯一,上面性質(zhì)中的任意2個均可。
【解析】二次函數(shù)綜合題,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),待定系數(shù)法,曲線上點的坐標與方程的關系,等腰梯形的判定和性質(zhì)。
【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′(-1,0),B′(0,2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可。
(2)利用S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍,得出一元二次方程,得出P點坐標即可。
(3)利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形,利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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