Question

如圖，已知點(diǎn)A(－4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y＝a²上．

(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ＋QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)平移拋物線y＝ax²，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C(－2，0)和點(diǎn)D(－4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，＋最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將點(diǎn)A(－4，8)的坐標(biāo)代入y＝ax2，解得．……1分 　　將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，……1分 　　則點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－2)．……1分 　　直線AP的解析式是．……1分 　　令y＝0，得．即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(，0)．……1分 　　(2)①解法1：CQ＝|－2－|＝，……1分 　　故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)，＋最短，……2分 　　此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為．……1分 　　解法2：設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，則平移后，的坐標(biāo)分別為(－4－m，8)和(2－m，2)，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4－m，－8)． 　　直線的解析式為．……1分 　　要使＋最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線上，……1分 　　將點(diǎn)C(－2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得．……1分 　　故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)＋最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為．……1分 　�、谧笥移揭茠佄锞�，因?yàn)榫�段′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使＋最短；……1分 　　第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有＋＞AD＋CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形的周長最短．……1分 　　第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－4－b，8)和(2－b，2)． 　　因?yàn)?I>CD＝2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得(－b，2)， 　　要使＋最短，只要使＋最短．……1分 　　點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4－b，－8)， 　　直線的解析式為．……1分 　　要使＋最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線上，將點(diǎn)D(－4，0)代入直線的解析式，解得． 　　故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形的周長最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為 ．……1分