Question

如圖所示，直線l：y=kx+b（k＞0）與y軸相交于點A₁，以O(shè)A₁為邊作正方形OA₁B₁C₁，記作第一個正方形；然后延長C₁B₁與直線相交于點A₂，再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，記作第二個正方形；同樣延長C₂B₂與直線相交于點A₃，再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，記作第三個正方形；…依此類推，又知B₁（1，1），B₂（3，2）．
（1）求直線l的解析式；
（2）第三個正方形的邊長是多少？
（3）試推測第n個正方形的邊長為多少？

Answer 1

解：（1）如圖，∵B₁（1，1），B₂（3，2），
∴在正方形OA₁B₁C₁和正方形C₁A₂B₂C₂中，OA₁=C₁B₁=1，A₂C₁=B₂C₂=2，
∴到A₁（0，1），A₂（1，2），
∴，
解得，，
∴直線l的解析式為：y=x+1；

（2）根據(jù)題意不難得出第一個正方體的邊長=1，
那么：n=1時，第1個正方形的邊長為：1=2⁰
n=2時，第2個正方形的邊長為：2=2¹
n=3時，第3個正方形的邊長為：4=2²
即第三個正方形的邊長是4；

（3）根據(jù)題意不難得出第一個正方體的邊長=1，
那么：n=1時，第1個正方形的邊長為：1=2⁰
n=2時，第2個正方形的邊長為：2=2¹
n=3時，第3個正方形的邊長為：4=2²
…
第n個正方形的邊長為：2^n-1．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到A₁（0，1），A₂（1，2），所以把它們的坐標(biāo)分別代入已知直線方程，列出關(guān)于k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（2）、（3）題的關(guān)鍵是求出第一個正方體的邊長，然后依次計算n=1，n=2…總結(jié)出規(guī)律．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．