Question

已知點A（-2，0），點B（0，2），點C在第二、四象限坐標軸夾角平分線上，∠BAC=60°，那么點C的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據等腰三角形的性質得出CO垂直平分AB，進而求出△ABC是等邊三角形，再利用勾股定理求出C到x軸的距離，即可得出C點坐標，同理可以求出所有符合要求的結果．
解答：解：過點C作CM⊥y軸于點M，作CN⊥x軸于點N．
∵點A（-2，0），點B（0，2），
∴AO=BO=2，
又∵點C在第二、四象限坐標軸夾角平分線上，
∴∠BOC=∠COA=45°，
∴CO垂直平分AB（等腰三角形三線合一），
∴CA=CB，（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等），
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形），
∴AB=AC=BC，
∴AB===2；
假設CN=x，則CM=NO=x，NA=x-2，AC=2．
在Rt△CNA中，∵CN²+NA²=AC²，
∴x²+（x-2）²=（2）²，
整理得：x²-2x-2=0，
解得：x₁=1+，x₂=1-（不合題意舍去），
∴C點的坐標為：（-1-，1+）；
當點在第四象限時，同理可得出：△ABC′是等邊三角形，C′點的橫縱坐標絕對值相等，
設C′點的坐標為（a，-a），
∴a²+（a+2）²=（2）²，
解得：a₁=-1-（不合題意舍去），a₂=-1+，
C′點的坐標為：（-1+，1-），
故答案為：（-1+，1-），（-1-，1+）．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用以及等腰直角三角形的性質與判定和勾股定理等知識，結合圖象得出△ABC是等邊三角形，再利用勾股定理求出是解題關鍵，此題容易漏解，應利用數(shù)形結合認真分析．