如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．
（1）求證：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
分析：（1）由四邊形ACED是平行四邊形，可得AC∥DE，又由平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，即可證得：△PCQ∽△RDQ；
（2）由四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，可證得△PBC∽△RBE，繼而可得
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
，PB=PR，又由點R為DE的中點，△PCQ∽△RDQ，可得
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
，繼而可求得BP：PQ：QR的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；

（2）解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴
PB
PR
=
BC
CE
，
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
，
∴RB=2PB，
∵點R為DE的中點，△PCQ∽△RDQ，
∴
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
，
∴QR=2PQ，
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
練習冊系列答案
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如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設AC=2a，BD=2b，請推導這個四邊形的性質．（至少3條）
（提示：平面圖形的性質通常從它的邊、內角、對角線、周長、面積等入手．）

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如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四邊形ABCD的面積．

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精英家教網(wǎng)如圖，四邊形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度數(shù)．

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如圖，四邊形ABCD為正方形，E是BC的延長線上的一點，且AC=CE，求∠DAE的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”，其余條件不變，則結論AE=EF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

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