Question

（2012•金山區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB為半徑的圓，交BC于點E．
（1）求證：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB=6，cos∠B=

3

5

，求EC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，根據(jù)圓的半徑相等可得出AB=AE，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得出∠B=∠EAD，從而利用SAS可證得結(jié)論．
（2）在RT△ABC中，可求出BC，過圓心A作AH⊥BC，垂足為H，則BH=HE，則結(jié)合cos∠B的值，可求出BH、EH的長度，繼而根據(jù)EC=BC-BE即可得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AB=AE（AB與AE為圓的半徑），
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，

AE=AB ∠B=∠EAD BC=AD

，
故可得△ABC≌△EAD．

（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，cos∠B=

AB

BC

，
又∵cos∠B=

3

5

，AB=6，
∴BC=10，
過圓心A作AH⊥BC，垂足為H，
則BH=HE，
在Rt△ABH中，cos∠B=

BH

AB

，
則可得

3

5

=

BH

6

，
解得：BH=

18

5

，
∴BE=

36

5

，
故可得EC=BC-BE=

14

5

．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．