【題目】在矩形中,
,以
為直徑的半圓
在矩形
的外部,如圖1,將半圓
繞點(diǎn)
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°≤ɑ≤180°).
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,的最小值是_____________,當(dāng)半圓
的直徑落在對角線
上時(shí),如圖2,設(shè)半圓
與
的交點(diǎn)為
,則
長為__________.
(2)將半圓與直線
相切時(shí),切點(diǎn)為
,半圓
與線段
的交點(diǎn)為
,如圖3,求劣弧
的長;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)半圓弧與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)
的距離為
請直接寫出
的取值范圍.
【答案】(1)1;;(2)
;(3)
或
【解析】
(1)連接B′M,則∠B′MA=90°,在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出AC的長度,由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長度;
(2)連接OP、ON,過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G,則四邊形DGON為矩形,進(jìn)而可得出DG、AG的長度,在Rt△AGO中,由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°,進(jìn)而可得出△AOP為等邊三角形,再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長;
(3)由(2)可知:△AOP為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OG、DN的長度,進(jìn)而可得出CN的長度,畫出點(diǎn)B′在直線CD上的圖形,在Rt△AB′D中(點(diǎn)B′在點(diǎn)D左邊),利用勾股定理可求出B′D的長度進(jìn)而可得出CB′的長度,再結(jié)合圖形即可得出:半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍.
解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,
∴AC=5,
在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)B′落在對角線AC上時(shí),B′C的值最小,最小值為1;
在圖2中,連接B′M,則∠B′MA=90°,
在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵∠B=∠B′MA=90°,∠BCA=∠MAB′,
∴△ABC∽△AMB′,
∴,即
,
∴,
故答案為:1,;
(2)解:如圖3,連接,過
作
于點(diǎn)
,
∵半圓與直線
相切,
,
∴四邊形為矩形,
∴,
在中,
,
,
,
,
為等邊三角形,
,
∴劣弧的長=
;
(3)由(2)可知:△AOP為等邊三角形,
∴,
∴,
當(dāng)點(diǎn)B′在直線CD上時(shí),如圖4所示,
在Rt△AB′D中(點(diǎn)B′在點(diǎn)D左邊),AB′=4,AD=3,
∴,
∴,
∵AB′為直徑,
∴∠AD B′=90°,
∴當(dāng)點(diǎn)B′在點(diǎn)D右邊時(shí),半圓交直線CD于點(diǎn)D、B′,
∴當(dāng)半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),或
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③若m為任意實(shí)數(shù),則a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( �。�
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以直線
為對稱軸的拋物線
與直線
交于
,
兩點(diǎn),與
軸交于
,直線
與
軸交于點(diǎn)
.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為
,
是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點(diǎn),若
,且
與
的面積相等,求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)若在軸上有且只有一點(diǎn)
,使
,求
的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形邊長是定值,點(diǎn)
是它的外心,過點(diǎn)
任意作一條直線分別交
于點(diǎn)
,將
沿直線
折疊,得到
,若
分別交
于點(diǎn)
,連接
,則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A.△≌△
B.的周長是一個(gè)定值
C.四邊形的面積是一個(gè)定值
D.四邊形的面積是一個(gè)定值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在第二屆數(shù)字中國建設(shè)峰會(huì)召開之際,某校舉行了第二屆“掌握新技術(shù),走進(jìn)數(shù)時(shí)代”信息技術(shù)應(yīng)用大賽,將該校八年級參加競賽的學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)后,繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表(不完整):
成績頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表
組別 | A | B | C | D |
成績x(分) | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x<100 |
人數(shù) | 10 | m | 16 | 4 |
請觀察上面的圖表,解答下列問題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中m= ,D組的圓心角為 °;
(2)D組的4名學(xué)生中,有2名男生和2名女生.從D組隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加5G體驗(yàn)活動(dòng),請你畫出樹狀圖或用列表法求:
①恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)的概率;
②至少1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD,E為CD的中點(diǎn),F為AB上一點(diǎn),連接EF,DF,若AB=4,BC=2,EF=,則DF的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的頂點(diǎn)為D,B(﹣3,0),A(0,
)
(1)求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖1,P為線段OB上(不與O、B重舍)一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,點(diǎn)N作NK⊥BA交BA于點(diǎn)K,當(dāng)△MNK與△MPB的面積相等時(shí),在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q,使得CQ+QN最小時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及
CQ+QN最小值;
(3)如圖2,在(2)的條件下,將△ODN沿射線DN平移,平移后的對應(yīng)三角形為△O′D′N′,將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1OC1的位置,且點(diǎn)C1恰好落在AC上,△A1D′N′是否能為等腰三角形,若能求出N′的坐標(biāo),若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A(﹣1,2),點(diǎn)B(﹣4,n),與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D.
(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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