Question

【題目】如圖(1)，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F．

(1)求證：OE＝OF；

(2)如圖(2)，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，則結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，

∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

(2)OE＝OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE．

又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA，又因?yàn)?/span>AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA，再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．

解：OE=OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．