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如圖,⊙O是等腰梯形ABCD的內切圓,切點分別為E,F,G,H,其中AB∥CD,連接OB交⊙O于點P,連接OC,OG,OE,FG,FP,下列結論:①EG為⊙O的直徑;②∠OGF=∠OCF;③若∠A=60°,則四邊形OPFG是菱形;④直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線.其中正確的有( )

A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①③④
【答案】分析:連接OF,根據切線的性質,切線長定理逐一判斷.
解答:解:①∵CD、AB為⊙O的切線,∴OG⊥CD,OE⊥AB,又CD∥AB,∴O、E、G三點共線,即EG為直徑,正確;
②連接OF,根據切線長定理可知,CG=CF,∴∠OCF=∠OCG,
又OF=OG,∴OC垂直平分FG,
∴∠OCG+∠CGF=90°,又∠OGF+∠CGF=90°,故∠OGF=∠OCF,正確;
∴③∠A=60時,根據等腰梯形的性質可知∠EBF=60°,根據切線長定理可知BO平分∠EBF,即∠OBF=30°,
又OF⊥BF,∴∠BOF=60°,故△OPF為等邊三角形,又∠EOB=∠FOB=60°,可得△OFG為等邊三角形,
∴四邊形OPFG為菱形,正確;
④如圖,過O點作OM∥AB交BC于點M,則OM為梯形BCGE的中位線,
∴BM=CM=BC,OM=(BE+CG)=(BF+CF)=BC,即BM=CM=OM,
又∵BE⊥EG,∴OM⊥EG,∴直線EG是以BC為直徑的外接圓的切線,正確.
①②③④都正確,故選A.
點評:本題考查了切線的性質,切線長定理,切線的判定定理,等腰梯形的性質及梯形中位線定理.具有一定的綜合性,解題時,要根據要根據每個結論的要求,合理地選擇所需要的性質或判斷.
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