Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC，AD的中點，連接AE、CF．

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=2，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）首先證明△ABC是等邊三角形，進而得出∠AEC=90°，四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE的長，進而求出菱形的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠AEC=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF=AD，EC=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠AEC=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）在Rt△ABE中，AE=，

所以，S菱形ABCD=2×=2．