Question

【題目】如圖所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點C在x軸上，一銳角頂點B在y軸上

(1)如圖1所示，若C的坐標是(2，0)，點A的坐標是(﹣2，﹣2)，求點B的坐標.

(2)如圖2，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點D，過點A作AE⊥y軸 于E，求證：BD = 2AE

Answer 1

【答案】(1)B(0，4)；(2)證明見解析.

【解析】

（1）過點A作AD⊥OC，可證△ADC≌△COB，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可解題；

（2）延長BC，AE交于點F，可證△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE．

（1）過點A作AD垂直OC于D．

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD=∠DAC．

在△ADC和△COB中，

∵，

∴△ADC≌△COB（AAS），

∴AD=OC，CD=OB．

∵A（-2，-2），C（2，0），

∴OD=2，OC=2，

∴OB=CD=2+2=4，

∴點B坐標為（0，4）；

（2）延長BC，AE交于點F．

∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠BAC=∠ABC=45°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAC=22.5°，

∴∠DAE=∠CBD=∠CAF．

在△ACF和△BCD中，

∵，

∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD，

在△ABE和△FBE中，

∵，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF，

∴BD=2AE．