Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，AD＝AC，過點D作DF⊥AC交BC于點F，交AC于點E，連接AF．

（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的長．

（2）延長AC至點H，連接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求證：FD+FC＝AD．

Answer 1

【答案】（1）EC＝；（2）詳見解析．

【解析】

（1）設EC＝x，則DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）證明△DEC≌△HEF（AAS），得出EC＝EF，DE＝EH，得出△CEF是等腰直角三角形，得出∠ECF＝45°，再證明△ADE是等腰直角三角形，得出∠DAC＝45°，DE＝AD，由等腰三角形的性質得出∠ADC＝∠ACD＝67.5°，求出∠EDC＝∠H＝22.5°，得出∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，證出CF＝CH，即可得出結論．

（1）解：設EC＝x，則DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，

∵DF⊥AC，

∴∠AED＝90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，

解得：x＝，或x＝0（舍去），

∴EC＝；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，

∵AB＝AF＝FH，

∴CD＝FH，

∵DF⊥AC，

∴∠DEC＝∠HEF＝90°，

在△DEC和△HEF中，，

∴△DEC≌△HEF（AAS），

∴EC＝EF，DE＝EH，

∵DF⊥AC，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，

∵AF＝FH，DF⊥AC，

∴AE＝HE＝DE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠DAC＝45°，DE＝AD，

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，

∴∠EDC＝∠H＝22.5°，

∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，

∴CF＝CH，

∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，

∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．