Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動正方形DEFG的頂點D，E分別在邊AB，AC上的運動（D不與A，B重合），且邊DE一直保持與邊BC平行．
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)邊FG與邊BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設(shè)AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC為等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S_△ABC=×BC×AH=12；

（2）設(shè)此時正方形的邊長為a，（如圖2）
∵△ADE∽△ABC，
∴，即．
解得a=．
故正方形DEFG的邊長為；

（3）如圖2，∵△ADE∽△ABC，
∴，即AD=2．
這樣自變量x的取值范圍為2個部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
當(dāng)0＜x≤2時，如圖1，△ADE∽△ABC，
∴，即DE=x．
∴y=DE²==x²；
當(dāng)2＜x＜5時，如圖3，△BDP∽△BAH，
∴，即．
∴DP=（5-x）．
∴y=DE×DP=x×（5-x）=x-x²．
故所求函數(shù)關(guān)系式為y=
分析：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面積公式即可求解．
（2）設(shè)此時正方形的邊長為a，（如圖2）根據(jù)△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得正方形DEFG的邊長；
（3）如圖2，根據(jù)△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AD，這樣自變量x的取值范圍為2個部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分別根據(jù)當(dāng)0＜x≤2時，如圖1，△ADE∽△ABC和，當(dāng)2＜x＜5時，如圖3，△BDP∽△BAH，求y即可．
點評：此題涉及到的知識點較多，有勾股定理．正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，利用學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識，是一道好題．