Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，點E是AB邊的中點，點F是BC邊上一動點，將△BEF移沿直線EF折疊，得到△GEF，當FG∥AC時，BF的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

由平行四邊形的性質得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，則CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由線段垂直平分線的性質得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性質得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行線的性質得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分兩種情況：

①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，則∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性質得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再證出FN＝EN＝3，即可得出結果；

②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，連接EN，則∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，證出FG∥EN，則∠G＝∠GEN，證出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折疊的性質得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，證出∠NEF＝∠NFE，則FN＝EN＝3，即可得出結果．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，

作CH⊥AD于H，

則CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，

∴AH＝DH，

∴CA＝CD＝AB＝6，

∴∠ACB＝∠B＝30°，

∵FG∥AC，

∴∠BFG＝∠ACB＝30°，

∵點E是AB邊的中點，

∴BE＝3，

分兩種情況：

①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，連接EN，如圖1所示：

則∠ENB＝∠B＝30°，

∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，

∴BN＝2BM＝3，

由折疊的性質得：∠BFE＝∠GFE＝15°，

∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，

∴FN＝EN＝3，

∴BF＝BN+FN＝3+3；

②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，連接EN，如圖2所示：

則∠ENB＝∠B＝30°，

∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，

∴BN＝2BM＝3，

∵FG∥AC，

∴FG∥EN，

∴∠G＝∠GEN，

由折疊的性質得：∠B＝∠G＝30°，

∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，

∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，

由折疊的性質得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，

∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，

∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；

故答案為：或．