(2009•江東區(qū)質檢)如圖,矩形ABCD的4個頂點都在圓O上,將矩形ABCD繞點0按順時針方向旋轉α度,其中0°<α≤90°,旋轉后的矩形落在弓形AD內(nèi)的部分可能是三角形(如圖1)、直角梯形(如圖2)、矩形(如圖3).已知AB=6,AD=8.

(1)如圖3,當α=______度時,旋轉后的矩形落在弓形內(nèi)的部分呈矩形,此時該矩形的周長是______;
(2)如圖2,當旋轉后的矩形落在弓形內(nèi)的部分是直角梯形時,設A2D2、B2C2分別與AD相交于點為E、F,求證:A2F=DF,AE=B2E;
(3)在旋轉過程中,設旋轉后的矩形落在弓形AD內(nèi)的部分為三角形、直角梯形、矩形時所對應的周長分別是cl、c2、c3,圓O的半徑為R,當c1+c2+c3=5R時,求c1的值;
(4)如圖1,設旋轉后A1B1、A1D1與AD分別相交于點M、N,當旋轉到△A1MN正好是等腰三角形時,判斷圓O的直徑與△A1MN周長的大小關系,并說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)矩形的性質可以得到旋轉角應是90°,根據(jù)矩形的長和寬即可計算得到的矩形的周長;
(2)根據(jù)旋轉得到對應點之間的弧相等,再根據(jù)等弧所對的圓周角相等和等角對等邊進行證明;
(3)根據(jù)矩形的外接圓的圓心即是其對角線的交點,得到矩形的外接圓的半徑等于其對角線的一半5,再根據(jù)(1)和(2)的思路,可以求得它們的周長分別是8,再進一步求得C1的長;
(4)根據(jù)矩形的角都是直角,則該三角形應是等腰直角三角形.根據(jù)等腰直角三角形的性質和矩形的長和寬列方程求得三角形的周長,再進一步運用求差法比較其大。
解答:解:(1)當α=90°時,旋轉后的矩形落在弓形內(nèi)的部分呈矩形,
此時該矩形的周長是6×2+(8-6)=14.

(2)①如圖,連接A2D,
=
∴∠ADA2=∠DA2D2;
∴A2F=DF.
②如圖,連接AB2∵AD=B2C2,
=
-=-;
=;
∴∠AB2C2=∠DAB2
∴AE=B2E.

(3)由(1)(2)得C2=8,C3=8
∵AB=6,AD=8,∠A=90°,
∴R=5,
當C1+C2+C3=5R時,C1=9;

(4)如圖,設A1B1交AB于P,A1M=a,AM=b,
∵△AMN正好是等腰三角形,∠A1=90°,
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°;
∴MN==a,
∴AD=AM+MN+ND=b+a+a=8…(一);
同(1)①可證AP=B1P;
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+b+b=6…(二);
(二)-(一)得:a-b=2;
∴a-b=,即A1M-AM=;
∴△A1MN的周長=AD+=8+;
而⊙O的直徑為10,
∴⊙O的直徑與△A1MN的周長差為10-(8+)=2->0;
∴⊙O的直徑大于△A1MN的周長.
點評:此題綜合運用了旋轉的性質和等腰三角形的判定和性質.綜合性強,難度較大.
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(1)求直線AC的解析式;
(2)求證:OB=OD;
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B.πcm2
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D.cm2

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(3)若20人一起完成植樹任務后,再把這20人分成兩組,一組種花,一組種草,要使種花和種草同時完成,應怎樣分組?

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