Question

拋物線y=

1

2

x2-2(m+

5

4

)x+2(m+1)與y軸的正半軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，并且點B在A的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）判斷△OBC與△OCA是否相似，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和同高不等底的三角形的底的數(shù)量關(guān)系列等式解答；
（2）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點，得到三角形各邊長，計算兩三角形直角邊是否成比例即可．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，0），（x₂，0），△=4（m+

3

4

）²＞0，C（0，2m+2）是y軸正半軸上的點，
則2m+2＞0，即m＞-1，
又x₁+x₂=4（m+

5

4

）＞0，
x₁x₂=4（m+1）＞0，
∴x₂＞x₁＞0，
由S_△ABC=3S_△OAC得S_△OBC=4S_△OAC，
∴x₂=4x₁，
與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立可得，（

4

5

m+1）²=m+1，
解得，m₁=0，m₂=-

15

16

．
對應(yīng)的拋物線解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2，y=

1

2

x²-

5

8

x+

1

8

．

（2）當(dāng)m=0時，拋物線解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2，
可得A（1，0），B（4，0），C（0，2）．
故

OA

OC

=

1

2

；

OC

OB

=

2

4

=

1

2

；
故△AOC∽△COB．
當(dāng)m=-

15

16

時，
可得A（

1

4

，0），B（1，0），C（0，

1

8

）．

OA

OC

=

1 4

1 8

=2；

OC

OB

=

1 8

1

=

1

8

；

OB

OC

=8；
故△AOC與△COB不相似．

點評：此題考查了拋物線的相關(guān)知識，綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識，可判定對應(yīng)方程根的符號特征、兩實根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵．對于（1），建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對于（2）依m(xù)的值分類討論．