Question

【題目】如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．

如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．

（1）若△ACD的面積為16．

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點(diǎn)，過S作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，將線段SC，SP繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點(diǎn)C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點(diǎn)M，P1P與x軸交于點(diǎn)N．求的最大值；

（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點(diǎn)M有且只有兩個(gè)，求a的取值范圍．

（1）若△ACD的面積為16．

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點(diǎn)，過S作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，將線段SC，SP繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點(diǎn)C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點(diǎn)M，P1P與x軸交于點(diǎn)N．求的最大值；

（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點(diǎn)M有且只有兩個(gè)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②最大值為2；（2）a的取值范圍為．

【解析】

（1）①先求出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)，從而得CD＝8，OA＝12a，結(jié)合S△ACD＝16，即可求解；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及SAS可證：P SP1C SC1，進(jìn)而證明△MSC∽△NSP1，得，設(shè)S(t，0)（0≤t≤6），可得，進(jìn)而即可求解；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)∠MAO＝30°，求出直線AM的解析式：，進(jìn)而可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，列出關(guān)于a的不等式，即可求解，②當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，用類似的方法，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，列出關(guān)于a的不等式，即可求解．

（1）①由題意，令y＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，

∴C(﹣2，0)，D(6，0)，

∴CD＝8．

令x＝0，解得：y＝﹣12a，且a＞0，

∴A(0，﹣12a)，即OA＝12a，

∴S△ACD＝＝48a＝16，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

②∵線段SC，SP繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到SC1，SP1的位置，

∴SC= SC1，SP= SP1，∠P SP1=∠C SC1，

∴P SP1C SC1（SAS），

∴∠SP1P=∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1，

∴△MSC∽△NSP1，

∴，

設(shè)S(t，0)（0≤t≤6），則SP1=SP＝，SC＝t+2，

∴，

∵0≤t≤6，

∴當(dāng)t＝0時(shí)，最大值為2；

（2）∵直線y＝x﹣12a與x軸交于點(diǎn)B，

∴B(12a，0)，OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°,

①當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)∠MAO＝30°，

設(shè)直線AM與x軸交于點(diǎn)E，則OE＝，

∴E(，0)，

又∵A(0，﹣12a)，

∴直線AM的解析式為：，

聯(lián)立， 得：，

解得：（舍去），

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：，

∵＜0且a＞0，

∴0＜a＜；

②當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，作①中直線AE關(guān)于直線AB的對(duì)稱直線，此時(shí)，直線AE的對(duì)稱直線與拋物線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)M，過點(diǎn)B作x軸的垂線與直線AE關(guān)于AB的對(duì)稱直線交于點(diǎn)F，則△EBA≌△FBA，

∴∠BAF＝∠BAE =75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°，

∴F(12a，)，

∴直線AF的解析式為：，

聯(lián)立，解得：（舍去），

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：，

∵且a＞0，

∴a＞，

綜上所述：故要使?jié)M足∠MAB＝75°的點(diǎn)M有且只有兩個(gè)，則a的取值范圍為：．