Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y＝x＋8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax²＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸的另一交點(diǎn)為B(x₀，0)，其中x₀＞0，又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并在圖1中的l上找一點(diǎn)P₀，使P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最��；

(2)若△PAC周長(zhǎng)的最小值為10＋2，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)如圖2，在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)(M不與端點(diǎn)C、O重合)，過(guò)點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H，設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時(shí)間t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；

(4)在(3)的條件下，當(dāng)S＝時(shí)，過(guò)M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)：過(guò)E、F、C三點(diǎn)的圓與直線CN能否相切于點(diǎn)C？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(備用圖圖3)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)， 　　所以當(dāng)y＝0，則x＝－6， 　　所以點(diǎn)A(－6，0)． 　　同理點(diǎn)C(0，8)， 　　設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為B(，0)， 　　由題意則＝2x0＋6． 　　則直線BC為y＝－x＋8， 　　代入x＝x0，則y＝－x0＋8， 　　所以該點(diǎn)為(x0，x0＋8)， 　　即(x0，－＋8)； 　　(2)由(1)可知三角形PAC最小即為AC＋BC＝10＋2， 　　＋＝10＋2， 　　解得x0＝2或x0＝－8(不符舍去)， 　　則點(diǎn)B(10，0)， 　　由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y＝－x2＋x＋8． 　　點(diǎn)N(2，16)； 　　(3)如圖，作MN⊥BC與N， 　　則在三角形OBC∽三角形CMN， 　　所以， 　　即h＝t． 　　因?yàn)镸H∥BC， 　　所以， 　　解得MH＝BC＝×2＝(8－2t)， 　　S＝MHh＝×(8－2t)×t＝－t2＋t， 　　因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位， 　　則當(dāng)t＝2時(shí)符合范圍0＜t＜4， 　　所以當(dāng)t為2時(shí)S最大； 　　(4)把S的取值代入(3)中表達(dá)式中求得t， 　　從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)， 　　S＝，即＝t2＋t 　　則解得t＝2， 　　則由題意知CEF三點(diǎn)所在圓半徑為4， 　　所以直線CN與CFE所在圓相切．