Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2

3

交x軸于點(diǎn)B（6，0）和C（-2，0），交y軸于點(diǎn)A．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒

3

2

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸上時(shí)t的值；
（3）如果取AB的中點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F．設(shè)等邊△PMN和矩形OEDF重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求出a、b的值就可以求出拋物線的解析式，利用拋物線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)B、A的坐標(biāo)及其他條件就可以求出∠ABO=30°，∠OAB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，由拋物線的解析式就可以求出拋物線的對(duì)稱軸，如圖1，作PH⊥AO于H，由勾股定理就可以求出t值；
（3）根據(jù)梯形的面積和三角形的面積分情況討論求出當(dāng)0≤t≤1時(shí)和1＜t≤2時(shí)S的表達(dá)式．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2

3

交x軸于點(diǎn)B（6，0）和C（-2，0），
∴

0=36a+6b+2 3 0=4a-2b+2 3

，
∴

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2

3

，
∴A（0，2

3

）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

2 3 =b 0=6k+b

，
解得：

k=- 3 3 b=2 3

，
∴y=-

3

3

x+2

3

；

（2）∵B（6，0），A（0，2

3

），
∴OA=2

3

，OB=6，
∴tan∠ABO=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，
∴∠MEO=∠AEP=30°，
∵AP=

3

2

t，
∴PE=

3

2

t，AE=

3

t，
∴OE=2

3

-

3

t，MO=2-t，
∴ME=4-2t，
∴MP=4-2t+

3

2

t=4-

1

2

t，
∵y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
∴y=-

3

6

（x-2）²+

8 3

3

，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
如圖1，當(dāng)x=2時(shí)，作PH⊥AO于H，
∴HP=2，在Rt△AHP中，由勾股定理得：
AH=

2 3

3

，AP=

4 3

3

，
∴t=

4 3

3

÷

3

2

=

8

3

．
∴等邊△PMN的頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸上時(shí)t的值為：

8

3

；
（3）∵AB的中點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥y軸，DF⊥x軸，
∴ED=

1

2

OB=3，AE=EO=

3

．
如圖2，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，作HQ⊥OB于Q，
∴HQ=

3

，QN=1，
∵ON=4-

1

2

t-（2-t）=2+

1

2

t，
∴OQ=EH=1+

1

2

t，
∴S=

(1+ 1 2 t+2+ 1 2 t) 3

2

，
S=

3 3 + 3 t

2

；
如圖3，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，作FK⊥OB于K，HQ⊥OB于Q，
∴FK=HQ=

3

，
∴QN=MK=1，
∴FH=4-

1

2

t-2=2-

1

2

t，
S=

(2- 1 2 t+4- 1 2 t) 3

2

-

(2-t)(2 3 - 3 t)

2

，
=

2 3 +3 3 t- 3 t2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用及梯形的面積公式和三角形的面積公式的運(yùn)用及特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用．