Question

如圖，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分別是OC、BC上的動點，EC+CF=8．
（1）當∠AFB=60°時，△ABF沿著直線AF折疊，折疊后，落在平面內G點處，求G點的坐標．
（2）當F運動到什么位置時，△AEF的面積最小，最小為多少？
（3）當△AEF的面積最小時，直線EF與y軸相交于點M，P點在x軸上，⊙P與直線EF相切于點M，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點G分別作GN⊥x軸于點N，作GH⊥y于點H，得出AH=AGsin60°以及GH=AG分別求出即可．
（2）此題只需設得CF的長為x，F(xiàn)在BC上運動，0≤x≤8，又EC+CF=8，則EC=8-x；再由面積切割法表示出△AEF的面積關于x的函數(shù)并求得最值即可．
（3）首先求出直線EF的解析式，即可得出M的坐標，進而得出△MOE∽△POM，即可得出OP的長，得出P點坐標即可．
解答：解：（1）如圖，過點G分別作GN⊥x軸于點N，作GH⊥y于點H，
如圖△ABF沿直線AF折疊后得△AGF，
則△AGF≌△ABF，
因為∠AFB=∠AFG=60°，
所以∠BAF=∠FAG=∠OAG=30°
在直角三角形AGH中，GH=AG=×AB=×16=8，
AH=AGsin60°=16×=8
即OH=8-12，
因此G（8，12-8）．

（2）在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；
則AB=OC=16，BC=OA=12；
設CF=x，則EC=8-x；
S_△AEF=S_□ABCO-S_△AOE-S_△ABF-S_△ECF=OA×OC-×OE×OA-×AB×BF-×CE×CF，
=12×16-×[16-（8-x）]×12-×16×（12-x）-×x×（8-x），
=x²-2x+48，
=（x-2）²+46；
因此，當x=2時，S_△AEF取得最小值46．
故當F運動到CF為2時，△AEF的面積最小，最小為46．

（3）由（2）得F（16，2），E（10，0），
設直線EF：y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=x-，
∴M（0，-），
連接PM，
∵⊙P與直線EF相切于點M，
∴PM⊥ME，
∴∠PMO+∠OME=90°，
∠MPO+∠PMO=90°，
∴∠MPO=∠OME，
∵∠POM=∠MOE=90°，
∴△MOE∽△POM，
∴=，
∴OM²=OP•OE，
∴OP=，
∴P點的坐標為：P（-，0）．
點評：此題主要考查了翻折變換以及二次函數(shù)的最值問題以及相似三角形的判定與性質、切線的性質等知識，根據(jù)已知得出正確圖形是初中階段難點同學們應重點掌握．