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16.如圖1,點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(端點除外),點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的運動速度相同,連接AQ、CP交于點M.
(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)如圖1,當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點P、Q在分別運動到點B和點C后,繼續(xù)在射線AB、BC上運動,直線AQ、CP交點為M,則∠QMC=120度.(直接填寫度數(shù))

分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用SAS證明△ABQ≌△CAP;
(2)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=60°;
(3)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=120°.

解答 (1)證明:∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,
又∵點P、Q運動速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ與△CAP中,
{AB=CAABQ=CAPAP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS);

(2)解:點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°;

(3)解:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
故答案為:120°.

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

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