Question

已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切線，切點分別為B、C．連結(jié)BA并延長交⊙O₁于D，過D點作CB的平行線分別交⊙O₂于E、F．

(1)求證：CD是⊙O₁的直徑；

(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)過點A作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交BC于點G，連結(jié)AC． 　　∵GB、GA分別切⊙O2于B、A， 　　∴GB＝GA． 　　同理GC＝GA． 　　∴GA＝GB＝GC． 　　∴AB⊥AC，即∠CAD為直角． 　　∴CD是⊙O1的直徑． 　　(2)結(jié)論為BC＝BE＝BF． 　　連結(jié)AE．在△CBA和△EBD中， 　　∵∠CBA＝∠BEA，又∵BC∥FD， 　　∴∠CBA＝∠BDE． 　　∴∠BEA＝∠BDE． 　　又∵∠ABE＝∠EBD， 　　∴△ABE∽△EBD． 　　∴＝，得BE2＝BA·BD． 　　由切割線定理，得BC2＝BA·BD， 　　∴BE＝BC． 　　∵∠CBE＝∠BFE，又∵BC∥FD， 　　∴∠CBE＝∠BEF． 　　∴∠BFE＝∠FEB， 　　∴BE＝BF． 　　∴BE＝BF＝BC．

提示：

(1)證明CD所對的圓周角為直角，故需連結(jié)AC；(2)由BC是⊙O1切線，所以BC2＝BA·BD，又易證BE2＝BA·BD．證明BE＝BF的一般方法是證明它們所對的圓周角相等．