Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-）．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由．
（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），所以-=1，=-，又因?yàn)榻粂軸于點(diǎn)C（0，-），所以c=-，聯(lián)立以上等式建立方程組求出啊、，b的值即可求拋物線的表達(dá)式；
（2）四邊形ADBC的形狀為矩形，設(shè)y=0，即（1）中拋物線的解析式中y=x²-x-=0，求出A、B的坐標(biāo)，得到E（1，0），即可推出D的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的判定即可推出答案；
（3）存在，延長(zhǎng)BC至N，使CN=CB．假設(shè)存在一點(diǎn)F，使△FBD的周長(zhǎng)最小，即FD+FB+DB最小，因?yàn)镈B固定長(zhǎng)，所以只要FD+FB最小即可，再由已知條件和給出的數(shù)據(jù)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）由題意知
，
解得：a=，b=-，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-；    
              
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），則y=x²-x-=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB==
∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AC=BD，BC=AD，
∴四邊形ADBC是平行四邊形            
又∵∠ACB=90°．
∴四邊形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延長(zhǎng)BC至N，使CN=CB．
假設(shè)存在一點(diǎn)F，使△FBD的周長(zhǎng)最�。�
即FD+FB+DB最�。�
∵DB固定長(zhǎng)．∴只要FD+FB最小．
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最�。�
又∵C為BN的中點(diǎn)，
∴FC=AC（即F為AC的中點(diǎn)）．
又∵A（-1，0），C（0，-）
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（-，-）
答：存在這樣的點(diǎn)F（-，-），使得△FBD的周長(zhǎng)最�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，平行四邊形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．