Question

【題目】如圖，設 A 是由n×n 個有理數(shù)組成的n 行n 列的數(shù)表， 其中aij （ i，j =1，2，3，，n ）表示位于第i 行第 j 列的數(shù)，且aij 取值為 1 或－1.

a	a		a
a	a		a
a	a		a

對于數(shù)表 A 給出如下定義：記 xi 為數(shù)表 A 的第i 行各數(shù)之積，y j 為數(shù)表 A 的第 j 列各數(shù)之積.令S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y)，將S 稱為數(shù)表 A 的“積和”.

（1）當n = 4 時，對如下數(shù)表 A，求該數(shù)表的“積和” S 的值；

1	1	－1	－1
1	－1	1	1
1	－1	－1	1
－1	－1	1	1

（2）是否存在一個 3×3 的數(shù)表 A，使得該數(shù)表的“積和” S =0 ？并說明理由；

（3）當n =10 時，直接寫出數(shù)表 A 的“積和” S 的所有可能的取值.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20

【解析】

（1）根據(jù)已知條件直接求解即可；

（2）不存在A∈S（3，3），使得S =0．可用反證法證明假設存在，得出矛盾，從而證明結論；

（3）根據(jù)已知條件求出l（A）關于A∈S（n，n），（k=0，1，2，…，n）的關系式然后代入求值即可.

解：由題意得：（1）S4 = (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=（1-1+1+1）+（-1-1+1-1）=0

（2）不存在A∈S（3，3），使得S=0．
證明如下：
假設存在A∈S（3，3），使得S=0．
因為xi（A）∈{1，-1}，yj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3），
所以x1（A），…，x3（A）；y1（A），…，y3（A），這9個數(shù)中有3個1，3個-1．
令M=x1（A）…x3（A）y1（A）…y3（A）．
一方面，由于這9個數(shù)中有3個1，3個-1，從而M=-1．①
另一方面，x1（A）…x3（A）表示數(shù)表中所有元素之積（記這9個實數(shù)之積為m）；y1（A）…y9（A）也表示m，從而M=m2=1．②
①、②相矛盾，從而不存在A∈S（3，3），使得S=l（A）=0．

(3)（i）對數(shù)表A0：aij（i，j=1，2，3，…，n），顯然l（A0）=2n．
將數(shù)表A0中的a11由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表A1，顯然l（A1）=2n-4．
將數(shù)表A1中的a22由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表A2，顯然l（A2）=2n-8．
依此類推，將數(shù)表Ai-1中的akk由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表Ak．
即數(shù)表Ak滿足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
∴r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=Ck（A）=-1．
∴l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．

當n =10 時，數(shù)表 A 的“積和” S 的所有可能的取值為：16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.

故答案為：（1）0；（2）不存在；（3）16，12，8，0，-4，-8，-12，-16，-20.