Question

【題目】已知拋物線交x軸于A、B兩點，其中點A坐標為，與y軸交于點C，且對稱軸在y軸的左側，拋物線的頂點為P.

（1）當時，求拋物線的頂點坐標；

（2）當時，求b的值；

（3）在（1）的條件下，點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3），為定值

【解析】

（1）將，A坐標代入拋物線解析式即可；

（2）設B點坐標為，可證明是等腰直角三角形，通過勾股定理即可求得長度，即的長，從而求得b的值.

（3）設，求得直線，直線，用含t的代數式表示即可求解.

（1）∵，∴拋物線為，

∴將點代入，得，∴，

∴拋物線的解析式為，

∴頂點坐標為.

（2）由已知將點代入，得，∴，

∵對稱軸在y軸的左側，∴，

∴，∴；

設B點坐標為，則∴，

∴，是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得，

又∵，

∴，

解得.

（3）為定值，如圖所示:

∵拋物線的對稱軸為：直線

∴，

設

設直線解析式為

∴，解得：

∴直線

當時，

∴

設直線解析式為

∴解得：

∴直線

當時，

∴

∴，為定值.