Question

20、如果正整數n有以下性質：n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數，那么n就稱為“希望數”，則最小的希望數是

2¹⁵•3²⁰•5¹²

．

Answer 1

分析：設最小的希望數是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質，則n=8^a•9^b•25^c，由n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數，得a是奇數，b和c是偶數，b除以3余數是1，a和c能被3整除，c除以5余數是1，a和b能被5整除，所以a最小是5，b最小是10，c最小是6．

解答：解：設最小的希望數是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質既然是最小的，就不應該有其它的因數了，
n=8^a•9^b•25^c因為n的八分之一是平方數，所以a是奇數，b和c是偶數因為n的九分之一是立方數，
所以b除以3余數是1，a和c能被3整除因為n的二十五分之一是五次方數，
所以c除以5余數是1，a和b能被5整除所以a最小是5，b最小是10，c最小是6，
所以最小的希望數是2¹⁵•3²⁰•5¹²=30233088000000．
故答案為：2¹⁵•3²⁰•5¹²．

點評：本題是一道新定義的題目，考查了一個數的完全平方，以及數的整除，難度較大．