Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，

(1)求∠APO+∠DCO的度數(shù);

(2)求證:點(diǎn)P在OC的垂直平分線上.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；
（2）證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形，進(jìn)而解答即可．

解：（1）如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形，
∴OP=PC，
∴點(diǎn)P在OC的垂直平分線上