Question

設α，β為方程x²-4x-m²+1=0的兩個實數(shù)根，要使|α|+|β|≤5，則實數(shù)m的取值范圍滿足|m|≤

 

（用最簡根式作答）．

Answer 1

分析：先根據(jù)方程有實根，得判別式≥0，再用根與系數(shù)的關系得出兩根之和與兩根之積，討論m的取值范圍即可．

解答：解：方程有實根，判別式≥0，
∴（-4）²-4（1-m²）≥0，∴m取全體實數(shù)，
由韋達定理，
得 α+β=4，αβ=1-m²，
∵|α|+|β|≤5，
∴（|α|+|β|）²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²+2|αβ|-2αβ=16+2|1-m²|-2（1-m²）≤25，
當m＜-1時，不等式變?yōu)閙²≤

13

4

，解得-

13

2

≤m＜-1；
當-1≤m≤1時，不等式變?yōu)?6≤25，滿足．
當m＞1時，不等式變?yōu)閙²≤

13

4

，解得1＜m≤

13

2

；
綜上，得|m|≤

13

2

．
故答案為

13

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根的分布情況，兩根之和與兩根之積，討論m的取值范圍是解此題關鍵．