Question

如圖，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°P為下底BC上一點（不與B、C重合），連接AP，∠APE=∠B，交DC于E，且BP=CE．
（1）求等腰梯形的腰AB的長；
（2）求證：△ABP≌△PCE．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AF∥CD交BC于點F，可得四邊形AFCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到AF=CD，AD=CF，從而求出BF的長度，然后證明△ABF是等邊三角形，從而得解；
（2）根據(jù)∠B=60°結(jié)合三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可以推出∠BAP=∠CPE，然后利用角角邊即可證明兩三角形全等．
解答：（1）解：如圖，過點A作AF∥CD交BC于點F，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AF=CD，F(xiàn)C=AD=3，
∴BF=BC-CF=7-3=4，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB=CD，
∴AB=AF，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AB=BF=4；

（2）證明：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，
∴∠B=∠C，
在△ABP中，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CPE，
在△ABP與△PCE中，，
∴△ABP≌△PCE（AAS）．
點評：本題考查了等腰梯形的兩腰相等，同一底上的兩個底角相等的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，準(zhǔn)確分析圖形并作出輔助線是解決梯形問題的關(guān)鍵．