如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=5,AB=10,BC=6,點E是線段AB上的動點,連結CE,EF⊥CE交AD于F,連結CF,設BE=x.
(1)當∠BCE=30°時,求△BCE的周長;
(2)當x=5時,求證:CF=AF+BC;
(3)是否存在x,使得CF=(AF+BC)?如果存在,求出x的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)在直角△BCE中利用三角函數(shù)即可求得BE,EC的長度,則三角形的周長即可求得;
(2)取FC的中點P,連接E、P,易證EP是直角梯形ABCF的中位線,以及直角三角形的性質,以及梯形的中位線定理即可證得;
(3)取AB的中點Q,連接Q、P,則QP是直角梯形ABCF的中位線,QP=,EP是Rt△EFC斜邊上的中線,EP=,要使得,只需EP=QP,即Rt△PQE是等腰直角三角形,即可表示出FA、AE的長度,然后根據Rt△EBC∽Rt△FAE,相似三角形的對應邊的比相等可以得到關于x的方程,從而求解.
解答:解:(1)如圖:∵∠A=∠B=90°,BC=6,BE=x,∠BCE=30°
∴Rt△EBC中,BE=BCtan30°=2,EC==
∴△BCE的周長=BC+EB+EC=6+6

(2)如圖:取FC的中點P,連接EP,
∵∠A=∠B=90°,AD=5,AB=10,BC=6,BE=x=5,EF⊥CE,
∴EP是直角梯形ABCF的中位線,EP=
EP也是Rt△EFC斜邊上的中線,EP=
∴EP==,即CF=AF+BC

(3)如圖:取AB的中點Q,連接QP,
∵∠A=∠B=90°,AD=5,AB=10,BC=6,BE=x,EF⊥CE,
∴AE=10-x,QE=|5-x|,∠AFE+∠AEF=90°,∠BEC+∠AEF=90°
QP是直角梯形ABCF的中位線,QP=,∠PQE=90°
EP是Rt△EFC斜邊上的中線,EP=
要使得,只需EP=QP,即Rt△PQE是等腰直角三角形,QP=QE=|5-x|
∴AF=2QP-BC=2|5-x|-6
∵∠A=∠B=90°,EF⊥CE,
∴∠AFE+∠AEF=90°,∠BEC+∠AEF=90°
∴∠AFE=∠BEC
∴Rt△EBC∽Rt△FAE
,即
當0≤x≤5時,|5-x|=5-x,2|5-x|-6=4-2x,(舍),
當5<x≤10時,|5-x|=x-5,2|5-x|-6=2x-16,,(舍)
綜上所述:時,
點評:本題是相似三角形的判定與性質,以及直角三角形的性質,梯形的中位線定理的綜合應用,正確作出輔助線是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點.將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結果精確到0.1cm)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動,E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關于t的函數(shù)關系式,并求出y的最小值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F,交CD于點G、H.過點F引⊙O的切線交BC于點N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點E、F分別是腰AD、BC上的動點,點G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點P以2cm/s的速度向點B移動,點Q以1cm/s的速度向點D移動,當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動.
(1)經過幾秒鐘,點P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時的移動時間;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案