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    (2002•山西)已知:如圖,A是⊙O1、⊙O2的一個交點,點M是O1O2的中點,過點A的直線BC垂直于MA,分別交⊙O1、⊙O2于B、C.
    (1)求證:AB=AC;
    (2)若O1A切⊙O2于點A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:d1+d2=O1O2
    (3)在(2)條件下,若d1d2=1,設⊙O1、⊙O3的半徑分別為R、r,求證:R2+r2=

    【答案】分析:(1)作O1D⊥AB于點D,O2E⊥AC于點E,分別運用垂徑定理得到BD=AD,AE=CE,易得AB=AC;
    (2)利用梯形中位線定理,即可O1D+O2E=2AM,d1+d2=O1O2;
    (3)根據相似三角形的性質,表示出d1=,d2=;再結合(2)的結論,進行證明.
    解答:證明:(1)分別作O1D⊥AB于點D,O2E⊥AC于點E.
    則AB=2AD,AC=2AE.
    ∵O1D∥AM∥O2E,
    ∵M為O1O2的中點,
    ∴AD=AE,AB=AC.

    (2)∵O1A切⊙O2于點A,
    ∴O1A⊥O2A,
    又∵M為O1O2的中點,O1O2=2AM
    在梯形O1O2ED中,
    ∵AM為梯形的中位線,O1D+O2E=2AM,
    ∴O1D+O2E=O1O2,
    即d1+d2=O1O2

    (3)∵O1A⊥O2A,
    ∴∠AO1D=∠O2AE,
    ∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E.
    ==,
    ==
    ∴AD•AE=d1•d2=1.
    即由(1)(2)知,AD=AE=1,O1O2=d1+d2,
    ∴d1=,d2=
    ∴R2+r2=O1O22=(d1+d22=(+2=
    點評:解答此題要注意利用相交兩圓的特點,作出輔助線.構造直角三角形和梯形,利用其性質建立起各量之間的聯系.
    練習冊系列答案
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