Question

【題目】如圖所示，等邊△ABC的邊長為4，點D是BC邊上一動點，且CE＝BD，連接AD，BE，AD與BE相交于點P，連接PC．則線段PC的最小值等于_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由“SAS”可證△ABD△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，由此進(jìn)一步可求∠APB＝120°，據(jù)此如圖，作等腰△AOB，使OA＝OB，∠AOB＝120°，連接OC，OP，可得點P在以點O為圓心，OB為半徑的圓上，當(dāng)點O，點P，點C共線時，PC有最小值，最后利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)一步求解即可．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵CE＝BD，∠ABC＝∠BCE＝60°，AB＝BC，

∴△ABD△BCE（SAS）

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP+∠BAD＝60°，

∴∠APB＝120°，

如圖：作等腰△AOB，使OA＝OB，∠AOB＝120°，連接OC，OP，

∵∠APB＝120°，

∴點P在以點O為圓心，OB為半徑的圓上，

∵CP≥OCOP，

∴當(dāng)點O，點P，點C共線時，PC有最小值，

∵OA＝OB，∠AOB＝120°，

∴∠ABO＝30°，

∴∠CBO＝90°，

∵OA＝OB，BC＝CA，OC＝OC，

∴△AOC△BOC（SSS），

∴∠ACO＝∠BCO＝30°，

∴CO＝2OB，

∵OC2OB2＝BC2，

∴3OB2＝16

∴OB＝，

∴OC＝

∴PC的最小值＝，

故答案為：．