Question

【題目】在直角坐標系XOY中，二次函數圖像的頂點坐標為，且與x軸的兩個交點間的距離為6.

（1）求二次函數解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出Q點的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點或

【解析】

（1）由已知開設解析式：，B（7，0），進一步可求出結果；（2）過點O作CD⊥x軸于D，過點Q作QE⊥x軸于E，利用三角函數求出E,Q坐標，證明點Q在拋物線上，由拋物線的對稱性，還存在一點，使△ABQ′∽△CAB.

（1）由已知開設解析式：，B（7，0）

把B（7，0）代入，求得a=

故所求解析式為

（2）在x軸上方的拋物線上存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，

因為△ABC為等腰三角形，

∴當AB=BQ，

∵AB=6，

∴BQ=6，

過點O作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=，

∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，

過點Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，

∴QE=BQsin60°=,

∴BE=3,

∴E(10, 0),.

當x=10時，

∴點Q在拋物線上，

由拋物線的對稱性，還存在一點，

使△ABQ′∽△CAB故存在點或.