Question

（2013•和平區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OB=2，將矩形折疊，使點(diǎn)O落在邊BC（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為D，這時(shí)折痕與邊OA或AC（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)E，然后展開鋪平，得到△ODE．
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D位于BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（2，0）

；
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求△ODE的面積；
（Ⅲ）如圖3，是否存在面積最大的△ODE？若存在，請說明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由折疊性質(zhì)可知，折痕垂直平分OD，則折痕經(jīng)過點(diǎn)B，折痕為直線BE，證明四邊形OBDE為正方形，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，可得DF=OB=2，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ODE的面積；
（Ⅲ）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在邊OA上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ODE=

1

2

OE•OB，由OE≤OA得出

1

2

OE•OB≤

1

2

OA•OB=4，則當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，△ODE的面積最大，最大面積為4；②當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，過點(diǎn)E作EF∥OA交OB于點(diǎn)F，交OD于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ODE=S_△DGE+S_△OGE=

1

2

GE•OB，由GE≤EF得出

1

2

GE•OB≤

1

2

EF•OB=4，則當(dāng)點(diǎn)E在邊AC的中點(diǎn)時(shí)，△ODE的面積最大，最大面積為4．然后求△ODE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)及勾股定理求出BD=4-2

3

，即D（4-2

3

，2）；②當(dāng)點(diǎn)E在邊AC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，易求D（0，2）．

解答：解：（Ⅰ）如圖1，連接OD，作OD的中垂線交OA與點(diǎn)E，連接DE．
∵OB=BD，
∴點(diǎn)B在OD的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)B，折痕為直線BE，
∴∠OBE=∠DBE=

1

2

∠OBD=45°，∠OEB=∠DEB，
∵BD∥OE，
∴∠OEB=∠DBE=45°=∠DEB，
∴∠DEO=∠EOB=∠OBD=90°，
又OB=OD，
∴四邊形OBDE為正方形．
∴OE=OB=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）．
故答案為（2，0）；

（Ⅱ）如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，可得DF=OB=2，
∴S_△ODE=

1

2

OA•DF=

1

2

×4×2=4；

（Ⅲ）存在面積最大的△ODE，其面積為4．理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)E在邊OA上時(shí)，如圖3．
S_△ODE=

1

2

OE•OB≤

1

2

OA•OB=4；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，△ODE的面積最大，最大面積為4；
②當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，如圖4．
過點(diǎn)E作EF∥OA交OB于點(diǎn)F，交OD于點(diǎn)G，
∵S_△DGE=

1

2

GE•BF，S_△OGE=

1

2

GE•OF，
∴S_△ODE=

1

2

GE•BF+

1

2

GE•OF=

1

2

GE（BF+OF）
=

1

2

GE•OB≤

1

2

EF•OB=

1

2

S_矩形OACB=4．
當(dāng)點(diǎn)E在邊AC的中點(diǎn)時(shí)，△ODE的面積最大，最大面積為4．
下面求△ODE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2．
由折疊可知，AD=AO=4．
在Rt△ACD中，DC=

AD2-AC2

=

42-22

=2

3

，
∴BD=4-2

3

，
∴D（4-2

3

，2）；
②當(dāng)點(diǎn)E在邊AC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，如圖5，
此時(shí)D（0，2）．
綜上所述，△ODE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4-2

3

，2）或（0，2）．

點(diǎn)評：本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到矩形、軸對稱的性質(zhì)，難度較大，在解答此題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論．